EL TEST DE LA BAILARINA

En internet se pueden encontrar muchas animaciones curiosas desde el punto de vista geométrico, un ejemplo es esta imagen, en la que se puede observar a la bailarina girar tanto en sentido horario como antihorario.

Esta imagen se utiliza como un "test de personalidad", que señala la parte de tu cerebro está más desarrollada, que, en caso de ser la derecha te daría una personalidad más emocional, y verías girar a la bailarina en sentido horario; y en caso de ser la izquierda tendrías una personalidad más racional, y verías girar a la bailarina en sentido contrario. Este test es criticado por el Doctor Steven Novella neurólogo de la Facultad de Medicina de la Universidad de Yale en este artículo, que además explica que es posible cambiar el sentido de giro de la bailarina por ejemplo al fijar la vista en el margen de la página.

El interés geométrico de la imagen deriba, como tambien explica el Doctor Novella, de que en realidad la bailarina no está girando objetivamente en ningun sentido, ya que se trata de una imagen en dos dimensiones, pero como nuestro cerebro no está acostumbrado a interpretar representaciones bidimensionales del mundo, asume esta imagen como 3D, caso en el que no se tienen los suficientes datos, es decir, las suficientes restricciones geométricas, como para definir el sentido del giro de la bailarina, y esto es lo que crea la ilusión óptica, ya que nuestro cerebro completa esta imagen haciendo girar a la bailarina hacia un lado o hacia el otro.

PITÁGORAS

En un primer momento hablamos de Thales y lo útil que nos podía ser. Ahora hablaremos de Pitágoras.
¿Quién a estas alturas no ha oído hablar de Pitágoras? ¿Quién no ha aplicado su teorema para resolver un problema?

“El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

A todo el mundo le suena esta fórmula, ya que nos la enseñaron en cursos anteriores, pero a nosotros nos lo explicaron con un triángulo rectángulo, no obstante hay demostraciones que se llevan haciendo desde hace muchísimo tiempo. Ya lo explicaba Patón en “el Menón” a través de una sucesión de cuadrados. También hay una explicación china llamada “el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu” o también se puede demostrar a través de la semejanza de triángulos.

A continuación os dejamos una página en la que podréis interactuar con las figuras y en donde claramente se observa la relación citada anteriormente.

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm


Una vez dicho esto nos queda citar alguna de sus aplicaciones, ya que lo importante es saber ponerlo en práctica. Alguna de las que citaremos son:

1.Cálculo de dimensiones desconocidas. Por ejemplo podemos hallar la distancia de un edificio sabiendo la medida de su sombra y la distancia del punto más alto del edificio al extremo de la sombra.

2.En triángulos. Por ejemplo conocidos los lados, saber si el triángulo es obtusángulo, rectángulo o acutángulo

3.Ternas pitagóricas, ternas de números naturales que cumplen el teorema de Pitágoras. Por ejemplo dados tres números al azar 10, 8 y 6 (que son el doble de 5, 4 y 3) podemos comprobar que cualquier triángulo que siga la relación 5k, 4k y 3k (donde k es un número positivo cualquiera) son siempre rectángulos y verifican el teorema.

Esperamos que estas aplicaciones os sean validas para el día a día y recordad que los dos teoremas importantes que debemos saber manejar los futuros ingenieros en expresión gráfica es Thales y Pitágoras.

Curiosidades no tant curiosas..

Uno cuando está navegando por internet en busca de curiosidades geométricas debe ir con cuidado porque se puede encontrar con cosas que no son del todo ciertas.
Pondré un ejemplo muy claro, según donde busques puedes encontrarte con un problema de un cuadrado formado por una cuadrícula y después de cortar el cuadrado y de hacer unos cambios en la forma se consigue aumentar el area.


Pero la verdad es que este truco tiene una explicación lógica que demuestra que es imposible, porque las dos figuras del principio son exactamente iguales pero después las pendientes que tienes los triangulos con los cuadrilateros son diferentes y los ángulos de las 4 partes son distintos:
Pendiente del triángulo de la primera figura: 3/8En la segunda figura la pendiente es 5/13
3/8 es diferente a 5/13
Por lo que la figura creada por las dos piezas de la derecha no forman un triángulo, y en realidad hay una diferencia entre las pendientes.
Aunque a simple vista lo parezca, las piezas no encajan.
En la foto se puede ver mejor:

Los tres problemas

La antigua Grecia fue la cuna de la geometría que se conoce en nuestros días. Célebres personajes enunciaron los teoremas que usamos en la actualidad como Tales de Mileto, que fue quien introdujo los conocimientos sobre geometría de los egipcios en Grecia y quien enunció la conocida teoría de los triángulos semejantes. Otras dos escuelas que tuvieron un papel central en la geometría griega fueron la de Pitágoras y la de Euclides.
El primero fue quien enunció el famoso teorema que lleva su nombre sobre la relación de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Euclides, por su parte fue quien con sus postulados sentó casi definitivamente las bases de toda la geometría griega, excepto por otros personajes posteriores a su muerte. Arquímedes y Apolonio son los dos más destacables de ese período con sus trabajos en cónicas y tangencias respectivamente.
Sin embargo, a pesar del enorme paso que se produció en el mundo de la geometría en esa época, hubo tres famosos problemas que los matemáticos griegos de entonces no supieron resolver.

La duplicación del cubo

Cuando una gran peste asolaba Atenas, se consultó al oráculo de Delos que se debía hacer para poder eliminar tal enfermedad. Entonces el oráculo les dijo que debían duplicar el volumen del altar de Apolo, que tenía forma cúbica. Los atenienses construyeron un altar cuyos lados fueron el doble de los anteriores, pero la peste no cesó. Cuando fueron de nuevo ante el oráculo éste les dijo que el altar que habían construido era el triple del volumen del anterior y no el doble, ya que el volumen de un cubo es el lado al cubo, pero finalmente no supieron construír un altar cuyo volumen fuese el doble de otro.


La trisección del ángulo

Este problema consistía en dividir un ángulo en tres partes exactamente iguales empleando para ello las únicas herramientas de las que disponían en la época, una regla y un compás, pero tampoco se supo resolver.

La cuadratura del círculo

Anaxágoras fue el primero en intentar resolver este problema, en el cual se tenía que obtener un cuadrado cuya área fuese igual a la de un círculo que se tenía como dato. Él nunca pudo resolverlo, y se dejó por imposible. Posteriormente Hume escribió sobre algunos métodos para resolverlo, pero que no fueron exitosos ya que era un buen matemático.

Orígen de la geometría proyectiva: Renacimiento

La geometría proyectiva apareció como solución al problema del artista para pintar el mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.
La geometría proyectiva tiene sus orígenes en el trabajo de los artistas del Renacimiento(S.XV); aunque algunos de los conceptos aparecen ya en los griegos. Con el fin de pintar cuadros más realistas, los artistas del Renacimiento trataron de descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla. Llegando a desarrollar los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica, en el siglo XV eran los mejores físicos y matemáticos.

Este interés por desarrollar la geometría proyectiva se debe al cambio en la temática de la pintura. En el periodo medieval las pinturas eran de carácter principalmente religioso y los pintores representaban a los personajes y objetos de una forma sumamente estilizada, generalmente sobre fondo dorado, para subrayar que el cuadro no tenía conexión con el mundo real. En el Renacimiento con la llegada del humanismo y el antropocentrismo la pintura se centra en la representación del mundo real.

Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artista en tener una teoría sobre el método a usar. Se dice que su interés en las matemáticas le llevó a estudiar la perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la geometría.

El primer libro fue escrito por Leone Battista Alberti (1404-1472), considerado el genio teórico en la perspectiva matemática, que presentó sus ideas en “Della Pintura” (1435).

Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve un ojo (consciente de que en la visión normal ambos ojos ven la misma escena desde posiciones distintas y el cerebro percibe la profundidad superponiendo esas dos imágenes, intenta conseguir esa ilusión de profundidad a base de juegos de luces y sombras y disminución de intensidad). El método se basaba en un instrumento llamado el “Velo de Alberti”. Su principio básico es el siguiente: Considera una pirámide de rayos que parten del ojo del pintor y terminan en cada punto de la escena que desea pintar. Esta pirámide de rayos la llamo proyección. Si entre la escena y el ojo se coloca una pantalla de cristal, cada uno de los rayos determina un punto sobre el cristal formándose así una sección. Y esta sección crea en el ojo la misma imagen que la escena misma. Según la posición de la pantalla, tendremos distintas secciones del mismo objeto.



Aunque muchos artistas escribieron sobre perspectiva, destacan:
Da Vinci decía que la pintura debía ser una reproducción exacta de la realidad y que la perspectiva matemática lo permitiría. Sus escritos sobre perspectiva se encuentran en su “Tratatto Della pintura” (1651).

Piero della Francesca estableció los principios matemáticos de la perspectiva de una forma bastante completa. Su obra “De prospectiva pingendi” aportó algunos avances a las ideas de Alberti. Sus procedimientos son útiles para los artistas, pero carecen del mínimo rigor en unas demostraciones que son simples construcciones.

PROPORCIONALIDAD

Cuando todos oímos la palabra “geometría” lo primero con lo que la asociamos es con figuras (tales como pentágonos, cuadrados triángulos…) plasmadas en un papel, pero no es sólo eso, la geometría va mucho más allá de unas simples figuras. Desde pequeños, cuando estábamos en el cole nuestros profesores nos enseñaron geometría. Pero en ese momento no nos dábamos cuenta de lo útil y necesaria que sería en nuestro día a día y simplemente estudiábamos para aprobar un examen.

“La geometría, del griego geo (tierra) y métrica (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos”

Definición wikipedia

Pero la importancia de la geometría no se puede explicar tan rápido. Iremos poco a poco apoyándonos en los conocimientos que vamos adquiriendo, explicando este concepto tan complejo.

Hoy trataremos el tema de la proporcionalidad con un ejemplo muy cercano. ¿Cuántos de nosotros no se ha peleado con un hermano alguna vez cuando nuestras madres empezaban a repartir una tableta de chocolate y le daba más a él que a ti? Pues ahora bien, existe un método geométrico con el que podemos hacer que todas esas particiones tengan la misma longitud y así poder repartir lo mismo para todos y ese es el de la PROPORCIONALIDAD.

La construcción es muy sencilla. Primero colocaremos el regaliz tal y como se muestra en la figura.

Después trazaremos una línea desde uno de los extremos y lo dividiremos en tantas zonas como trozos queramos.Obsérvese la siguiente figura.

Finalmente uniremos el extremo de esta línea con el extremo del regaliz y haciendo rectas paralelas obtendremos el resto de particiones.Mire el resultado final.

Espero que os sirva de ayuda en un futuro y que así podais acabar con "esas injusticias" que son tan grandes para los mas peques.

¡¡BIENVENIDOS!!

Bienvenidos al blog catetos-catetos, somos un grupo de cinco estudiantes de primer curso de Ingeniería Técnica Aeronáutica de la especialidad Aeronaves en la UPM. Este espacio ha sido creado como trabajo de la asignatura de Expresión Gráfica y servirá para colgar aplicaciones y curiosidades sobre el ámbito de esta matería. El grupo está formado por: Víctor Joan Alegre Carreres, Marina Beneyto Calabuig, Fátima Diego González, Ana Duro Maneiro y Noemi Fraga Deus. Esperamos que sea de vuestro interés.