Los tres problemas

La antigua Grecia fue la cuna de la geometría que se conoce en nuestros días. Célebres personajes enunciaron los teoremas que usamos en la actualidad como Tales de Mileto, que fue quien introdujo los conocimientos sobre geometría de los egipcios en Grecia y quien enunció la conocida teoría de los triángulos semejantes. Otras dos escuelas que tuvieron un papel central en la geometría griega fueron la de Pitágoras y la de Euclides.
El primero fue quien enunció el famoso teorema que lleva su nombre sobre la relación de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Euclides, por su parte fue quien con sus postulados sentó casi definitivamente las bases de toda la geometría griega, excepto por otros personajes posteriores a su muerte. Arquímedes y Apolonio son los dos más destacables de ese período con sus trabajos en cónicas y tangencias respectivamente.
Sin embargo, a pesar del enorme paso que se produció en el mundo de la geometría en esa época, hubo tres famosos problemas que los matemáticos griegos de entonces no supieron resolver.

La duplicación del cubo

Cuando una gran peste asolaba Atenas, se consultó al oráculo de Delos que se debía hacer para poder eliminar tal enfermedad. Entonces el oráculo les dijo que debían duplicar el volumen del altar de Apolo, que tenía forma cúbica. Los atenienses construyeron un altar cuyos lados fueron el doble de los anteriores, pero la peste no cesó. Cuando fueron de nuevo ante el oráculo éste les dijo que el altar que habían construido era el triple del volumen del anterior y no el doble, ya que el volumen de un cubo es el lado al cubo, pero finalmente no supieron construír un altar cuyo volumen fuese el doble de otro.


La trisección del ángulo

Este problema consistía en dividir un ángulo en tres partes exactamente iguales empleando para ello las únicas herramientas de las que disponían en la época, una regla y un compás, pero tampoco se supo resolver.

La cuadratura del círculo

Anaxágoras fue el primero en intentar resolver este problema, en el cual se tenía que obtener un cuadrado cuya área fuese igual a la de un círculo que se tenía como dato. Él nunca pudo resolverlo, y se dejó por imposible. Posteriormente Hume escribió sobre algunos métodos para resolverlo, pero que no fueron exitosos ya que era un buen matemático.

Orígen de la geometría proyectiva: Renacimiento

La geometría proyectiva apareció como solución al problema del artista para pintar el mundo tridimensional en sus lienzos bidimensionales.
La geometría proyectiva tiene sus orígenes en el trabajo de los artistas del Renacimiento(S.XV); aunque algunos de los conceptos aparecen ya en los griegos. Con el fin de pintar cuadros más realistas, los artistas del Renacimiento trataron de descubrir las leyes que rigen la construcción de la proyección del objeto sobre una pantalla. Llegando a desarrollar los elementos de una teoría fundamental de una perspectiva geométrica, en el siglo XV eran los mejores físicos y matemáticos.

Este interés por desarrollar la geometría proyectiva se debe al cambio en la temática de la pintura. En el periodo medieval las pinturas eran de carácter principalmente religioso y los pintores representaban a los personajes y objetos de una forma sumamente estilizada, generalmente sobre fondo dorado, para subrayar que el cuadro no tenía conexión con el mundo real. En el Renacimiento con la llegada del humanismo y el antropocentrismo la pintura se centra en la representación del mundo real.

Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artista en tener una teoría sobre el método a usar. Se dice que su interés en las matemáticas le llevó a estudiar la perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la geometría.

El primer libro fue escrito por Leone Battista Alberti (1404-1472), considerado el genio teórico en la perspectiva matemática, que presentó sus ideas en “Della Pintura” (1435).

Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve un ojo (consciente de que en la visión normal ambos ojos ven la misma escena desde posiciones distintas y el cerebro percibe la profundidad superponiendo esas dos imágenes, intenta conseguir esa ilusión de profundidad a base de juegos de luces y sombras y disminución de intensidad). El método se basaba en un instrumento llamado el “Velo de Alberti”. Su principio básico es el siguiente: Considera una pirámide de rayos que parten del ojo del pintor y terminan en cada punto de la escena que desea pintar. Esta pirámide de rayos la llamo proyección. Si entre la escena y el ojo se coloca una pantalla de cristal, cada uno de los rayos determina un punto sobre el cristal formándose así una sección. Y esta sección crea en el ojo la misma imagen que la escena misma. Según la posición de la pantalla, tendremos distintas secciones del mismo objeto.



Aunque muchos artistas escribieron sobre perspectiva, destacan:
Da Vinci decía que la pintura debía ser una reproducción exacta de la realidad y que la perspectiva matemática lo permitiría. Sus escritos sobre perspectiva se encuentran en su “Tratatto Della pintura” (1651).

Piero della Francesca estableció los principios matemáticos de la perspectiva de una forma bastante completa. Su obra “De prospectiva pingendi” aportó algunos avances a las ideas de Alberti. Sus procedimientos son útiles para los artistas, pero carecen del mínimo rigor en unas demostraciones que son simples construcciones.